UNIDAD DIDACTICA MATEMATICAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD-TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS Y VIDEOS

El concepto de razón Trigonométrica de un ángulo agudo puede generalizarse sin problemas a cualquier tipo de ángulo. De hecho, las relaciones de proporcionalidad son genéricas.

Sin embargo, para hacer esta generalización, no nos vale el patrón de un triángulo rectángulo porque todos sus ángulos son menores o iguales a un recto. Por ello vamos a trabajar con la circunferencia goniométrica

Un goniómetro es un instrumento que sirve para medir ángulos. Una circunferencia goniométrica es una circunferencia especial que vamos a utilizar para medir ángulos y definir las razones trigonométricas de los mismos.

• Consideremos una circunferencia de radio 1. Como todas las relaciones trigonométricas son razones de proporcionalidad, el valor del radio nos resultará indiferente pero, si lo consideramos como 1, nos hará los cálculos más sencillos.
• Los ángulos se situarán sobre la circunferencia siguiendo los siguientes principios:
  1. El vértice en el centro de la circunferencia.
  2. Uno de sus lados lo haremos coincidir con el semieje positivo de las x.
  3. El otro lado se colocará donde le corresponda, abriéndo el ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj.
  4. Cuando habramos el ángulo en el mismo sentido de las agujas del reloj, consideraremos su valor como negativo.

Si situamos los ángulos sobre la circunferencia goniométrica como hemos indicado en el apartado anterior:

• La proyección del segundo lado sobre el eje de las x, considerada con signo, nos dará el Coseno.
• La proyección del segundo lado sobre el eje de las y, considerada con signo, nos dará el Seno.
• El cociente entre Seno y Coseno, nos dará la Tangente. Obviamente, cuando el Coseno del ángulo valga 0, la Tangente no estará definida.

Con esta ampliación de las definiciones para el Seno, Coseno y Tangente de un ángulo cualquiera podemos observar que:

1. El Seno de un ángulo cualquiera tiene que valer necesariamente entre -1 y 1
2. Sen(0º)=0, Sen(90º)=1, Sen(180º)=0 y Sen(270º)=-1
3. El Coseno de un ángulo cualquiera tiene que valer entre -1 y 1
4. Cos(0º)=1, Cos(90º)=0, Sen(180º)=-1 y Sen(270º)=0
5. La Tangente de un ángulo puede tomar cualquier valor entre +∞ y -∞
6. Tag(90º) y Tag(270º) no están definidas pues son un cociente entre 0.

Por supuesto, la relación fundamental de la trigonometría  se sigue manteniendo.

También es bastante fácil observar que, las relaciones fundamentales establecidas para ángulos agudos, se siguen manteniendo para ángulos cualesquiera.

* Dos ángulos entre -90º y 90º siempre tienen distinto Seno y, además, para cualquier valor en [-1 , 1] hay un ángulo entre -90º y 90º que lo tiene como Seno

* Dos ángulos entre 0º y 180º siempre tienen distinto Coseno y, además, para cualquier valor en[-1,1] hay un ángulo entre 0º y 180º que lo tiene como Coseno

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL