EJERCICIOS resueltos de matematicas tema PARABOLA ´

1. Hallar la ecucaci´on de la circunferencia que pasa por el v´ertice y los puntos extremos
del lado recto de la par´abola x
2 − 4y = 0
Soluci´on x
2 + y
2 = 5y
2. Una circunferencia cuyo centro es el punto (4, −1) pasa por el foco de la par´abola
x
2 + 16y = 0. Demostrar que es tangente a la directriz de la par´abola.
3. Hallar la ecuaci´on de la pr´abola cuyos v´ertice y foco son los puntos (−4, 3) y (−1, 3),
respectivamente. Hallar tambi´en las ecuaciones de su directriz y su eje.
Soluci´on (y − 3)
2 = 12(x + 4), directriz : x = −7, eje : y = 3
4. Hallar las coordenadas de v´ertice y el foco, las ecuaciones de la directriz y eje as´ı como
la longitud del lado recto de las siguientes par´abolas
(a) 4y
2 − 48x − 20y = 71
Soluci´on (y − 5/2)
2 = 12(x + 2); V (−2, 5/2); F(1, 5/2); directriz : x = −5; eje :
y = 5/2;Long. = 12
(b) 9x
2 + 24x + 72y + 16 = 0
Soluci´on (x + 4/3)
2 = −8y; V (−4/3, 0); F(−4/3, −2); directriz : y = 2; eje : x =
−4/3;Long. = 8
5. La ecuaci´on de una familia de par´abolas es y = ax
2 + bx. Hallar la ecuaci´on del
elemento de la familia que pasa por los puntos (2, 8) y (−1, 5)
Soluci´on y = 3x
2 − 2x
6. Hallar e identificar la ecuaci´on del lugar geom´etrico del centro de una circunferencia
que es siempre tangente a la recta y − 1 = 0 y a la circunferencia x
2 + y
2 = 9.
Soluci´on
Sea P(h, k) el centro de la circunferencia ζ que es siempre tangente a la recta y circunferencia dadas. Dado que es tangente a la recta, se tiene que
r = d(P, l) =
|k − 1|
1
o equivalentemente r
2
= (k − 1)
2
por lo que la ecuaci´on de ζ estar´a dada por:
x
2
+ y
2
− 2hx − 2ky + k
2
+ h
2
= (k − 1)
2
(1)
Ahora, dado que ζ es tangente a x
2 + y
2 = 9 la intersecci´on de ambas circunferencias
deber´a darnos un solo punto. Al realizar la sustituci´on correspondiente obtenemos:
9 − 2hx − 2k
√
9 − x
2 + k
2
+ h
2
= (k − 1)
2
,
desarrollando esta expresi´on obtenemos
(4k
2
+ 4h
2
)x
2
+ (−8kh − 4h
3
− 32h)x + (4kh
2
+ h
4
+ 32k + 16h
2
− 32k
2
+ 64) = 0
Como la ecuaci´on anterior debe resultar en un ´unico punto, es decir, el discriminante
deber´a ser cero. Realizando los c´alculos correspondientes, dicha condici´on es equivalente a:
−20h
2
+ 4kh
2
+ h
4
+ 32k − 32k
2
+ 64 = 0
Por lo que el lugar geom´etrico buscado est´a dado por las par´abolas
h
2
− 4k − 4 = 0 ´o h
2
+ 8k − 167. Hallar la ecuaci´on de la tangente a la par´abola x
2 + 4x + 12y − 8 = 0 que es paralela
a la recta 3x + 9y − 11 = 0.
Soluci´on x + 3y − 2 = 0
8. Hallar la/las ecuaciones de la/las tangentes trazadas desde el punto (−3, 3) a la par´abola
y
2 − 3x − 8y + 10 = 0,
Soluci´on x + 2y − 3 = 0; 3x − 2y + 15 = 0
9. Considerando la par´abola y
2 − 2x + 6y + 9 = 0 hallar los valores de k para los cuales,
las rectas de la familia x + 2y + k = 0
(a) cortan a la par´abola en dos puntos diferentes,
Soluci´on k < 8
(b) son tangentes a la par´abola,
Soluci´on k = 8
(c) no cortan a la par´abola.
Soluci´on k > 8
10. Demostrar que el lugar geom´etrico de los puntos medios de un sistema de cuerdas
paralelas de una par´abola es una recta paralela al eje. Esta recta se llama di´ametro de
la par´abola.
11. Hallar la ecuaci´on del di´ametro de la par´abola y
2 = 16x para un sistema de cuerdas
paralelas de pendiente 2.
Soluci´on y = 4
12. Un cable de acero est´a colgado por los dos extremos; los puntos de sujeci´on est´an
situados a una misma altura y a una misma distacia de 20m. La magnitud de depresi´on,
a una distancia de 2m de los puntos de sujeci´on, en sentido horizontal, es igual a 14.4cm.
Determinar la magnitud de depresi´on de este cable en el punto medio de los puntos de
sujeci´on, suponiendo que el cable tiene la forma de un arco de parabola.
Soluci´on 40cm
13. Demostrar que, si dos par´abolas con los ejes perpendiculares entre si se cortan en cuatro
puntos, esos puntos estar´an situados en una circunferencia.
14. Una recta que pasa por el foco de una par´abola con v´ertice en el origen y eje horizontal,
corta a la directriz en el punto (−3, 8). Calcular las coordenadas de los puntos de
intersecci´on de la par´abola y la recta.
Soluci´on (3/4, 3); (12, −12)
15. Hallar la ecuaci´on de la par´abola que tiene foco en (2, 1), v´ertice sobre 3x + 7y + 1 = 0
y directriz horizontal.
Soluci´on (x − 2)
2 = 8(y + 1)
16. Hallar la ecuaci´on de la par´abola que tiene v´ertice sobre 3x − 2y − 19 = 0, foco sobre
x + 4 = y y directriz x = 2.
Soluci´on (y + 2)
2 = 12(x − 5)
17. Transformar las siguientes ecuaciones en la forma can´onica de una par´abola y determinar si cada una de ellas representa a) una par´abola (y en tal caso determinar sisu eje es horizontal o vertical); b)dos rectas (y en tal caso decir si son horizontales o
verticales) o bien c) ning´un lugar geom´etrico.(a) x
2 − 4x − 6y − 14 = 0
Soluci´on par´abola vertical
(b) y
2 − 2y + 1 = −3
Soluci´on ning´un lugar geom´etrico
(c) x
2 − 4x + 4 = 9
Soluci´on dos rectas: x = 5 y x = −1
(d) x
2 + 3x + 2 = 0
Soluci´on dos rectas: x = −2 y x = −1